viernes, 10 de mayo de 2013

Razonamiento inductivo

«inductivo» redirige aquí. Para otras acepciones, véase Inducción.

Tradicionalmente se consideraba (y en muchos casos todavía se considera) que el razonamiento inductivo es una modalidad delrazonamiento que consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas que contienen datos particulares o individuales. Por ejemplo, a partir de la observación repetida de objetos o acontecimientos de la misma índole se establece una conclusión general para todos los objetos o eventos de dicha naturaleza.

Sin embargo, esa definición, en el presente y en lógica, ya no esta en uso: “Como ya mencionamos, a veces se expresa la diferencia entre deducción e inducción diciendo que la segunda, contrariamente a la primera, “va de lo particular a lo general”. Si con ello se quiere decir que en un argumento inductivo válido las premisas son siempre todas afirmaciones particulares y la conclusión es una afirmación general (esto es, cuantificacional), no es cierto”.⁴ “A pesar que muchos diccionarios definen razonamiento inductivo como razonamiento que deriva principios generales a partir de observaciones específicas, este uso está obsoleto”.⁵

Lo anterior, es dado que es posible tanto enunciar proposiciones inductivas en forma "deductiva"⁶ como de manera que no corresponden formalmente a lo que clásicamente se consideraba razonamiento inductivo.⁷

Consecuentemente la definición actual de inducción es más compleja e incluye tipos de razonamiento que van más allá de la simple progresión de lo particular a lo general. Esos tipos de razonamiento pueden ser descritos como aquellos que indican algún tipo de apoyo o aval a la conclusión, pero no una Implicación lógica. En otras palabras, son razonamientos que sugieren verdad, pero no la aseguran. Más bien, las premisas de un razonamiento lógico inductivo indican cierto grado de apoyo (probabilidad inductiva) para la conclusión, pero no implicación.⁸

Consecuentemente, en el presente, “mucho de la inferencia sintética o contingente ahora se toma como inductiva, algunas autoridades van tan lejos como a considerar toda inferencia contingente como inductiva.“⁹ (ver Juicios analíticos y sintéticos¹⁰ ). (y ver Peirce en "La inducción como probabilidad" más abajo)

Muchos consideran que, a pesar que la inducción no puede ser validada (ver Problema de la inducción y más abajo), dado que expande nuestro conocimiento del mundo real, es parte indispensable del método científico:¹¹ "La gran ventaja de la inducción no es que se puede justificar o validar, como puede la deducción, pero que, con cuidado y un poco de suerte, puede corregirse, como otros métodos no lo hacen."¹² (ver más abajo).

Medición

Medición del diámetro con calibre

La medición es un proceso básico de la ciencia que consiste en comparar un patrón seleccionado con el objeto o fenómeno cuya magnitud física se desea medir para ver cuántas veces el patrón está contenido en esa magnitud.¹

Proceso de medición

La tecnología convencional, modelizable mediante la mecánica clásica no plantea problemas serios para el proceso de medición. Así para algunos autores el proceso de medición requiere caracterizaciones relativamente simples como por ejemplo:

Definición 1. Una medición es un acto para determinar la magnitud de un objeto en cuanto a cantidad.^{[cita requerida]}

Aunque caben denificiones más complejas y descriptivas de como es el proceso como la siguiente definición sobre la medición de una magnitud geométrica:

Definición 2. Una medición es comparar la cantidad desconocida que queremos determinar y una cantidad conocida de la misma magnitud, que elegimos como unidad. Al resultado de medir se le denomina medida.

Los procesos de medición de magnitudes físicas que no son dimensiones geométricas entrañan algunas dificultades adicionales, relacionadas con la precisión y el efecto provocado sobre el sistema. Así cuando se mide alguna magnitud física se requiere en muchas ocasiones que el aparato de medida interfiera de alguna manera sobre el sistema físico en el que se debe medir algo o entre en contacto con dicho sistema. En esas situaciones se debe poner mucho cuidado, en evitar alterar seriamente el sistema observado. De acuerdo con la mecánica clásica no existe un límite teórico a la precisión o el grado de perturbación que dicha medida provocará sobre el sistema (esto contrasta seriamente con la mecánica cuántica o con ciertos experimentos en ciencias sociales donde el propio experimento de medición puede interferir en los sujetos participantes).

Por otro lado, no hemos de perder de vista que las medidas se realizan con algún tipo de error, debido a imperfecciones del instrumental o a limitaciones del medidor, errores experimentales, por eso, se ha de realizar la medida de forma que la alteración producida sea mucho menor que el error experimental que pueda cometerse. Por esa razón una magnitud medida se considera como una variable aleatoria, y se acepta que un proceso de medición es adecuado si la media estadística de dichas medidas converge hacia la media poblacional. En mecánica clásica las restricciones para el grado de precisión son siempre de carácter tecnológico o práctico, sin embargo, en mecánica cuántica existen límites teóricos para el grado de precisión que puede alcanzarse (véase principio de incertidumbre, teorema de Kochen-Specker).

[editar]Medición directa

La medida o medición diremos que es directa, cuando se obtiene con un instrumento de medida que compara la variable a medir con un patrón. Así, si deseamos medir la longitud de un objeto, se puede usar un calibrador. Obsérvese que se compara la longitud del objeto con la longitud del patrón marcado en el calibrador, haciéndose la comparación distancia-distancia. También, se da el caso con la medición de la frecuencia de un ventilador con un estroboscopio, la medición es frecuencia del ventilador (nº de vueltas por tiempo) frente a la frecuencia del estroboscopio (nº de destellos por tiempo).

[editar]Medidas reproducibles

Son aquellas que al efectuar una serie de comparaciones entre la misma variable y el aparato de medida empleado, se obtiene siempre el mismo resultado. Ejemplo: Si se mide cualquier número de veces un lado de un escritorio, siempre se obtiene el mismo resultado. Las medidas reproducibles son procedimientos no destructivos que además no producen una alteración importante en el sistema físico sujeto a medición.

[editar]Medición estadística

Son aquellas que al efectuar una serie de comparaciones entre la misma variable y el aparato de medida empleado, se obtienen distintos resultados cada vez. Ejemplo: Determinar el número de personas que leen este artículo diariamente.

Aunque se obtienen resultados diferentes cada día, se puede obtener un valor medio mensual o anual.

[editar]Medición indirecta

No siempre es posible realizar una medida directa, porque existen variables que no se pueden medir por comparación directa, es por lo tanto con patrones de la misma naturaleza, o porque el valor a medir es muy grande o muy pequeño y depende de obstáculos de otra naturaleza, etc. Medición indirecta es aquella en la que una magnitud buscada se estima midiendo una o más magnitudes diferentes, y se calcula la magnitud buscada mediante cálculo a partir de la magnitud o magnitudes directamente medidas.

Ejemplo 1: Se quiere medir la temperatura de un litro de agua, pero no existe un medidor de comparación directa para ello. Así que se usa una termopar, la cual, al ingresar los alambres de metal al agua, se dilatan y dicha dilatación se convierte en una diferencia de voltaje gracias a un transductor, que es función de la diferencia de temperatura. En síntesis, un instrumento de medición indirecta mide los efectos de la variable a medir en otra instancia física, cuyo cambio es análogo de alguna manera.

Ejemplo 2: Se desea medir la altura de un edificio demasiado alto, dadas las dificultades de realizar la medición directamente, emplearemos un método indirecto. Colocaremos en las proximidades del edificio un objeto vertical, que sí podamos medir, así como su sombra. Mediremos también la longitud de la sombra del edificio. Dada la distancia del Sol a la tierra los rayos solares los podemos considerar paralelos, luego la relación de la sombra del objeto y su altura, es la misma que la relación entre la sombra del edificio y la suya. Llamando:

S_Ob: a la sombra del objeto.
A_Ob: a la altura del objeto.
S_Ed: a la sombra del edificio.
A_Ed: a la altura del edificio.

$\frac{S_{Ob}} {A_{Ob}} = \frac{S_{Ed}} {A_{Ed}} \,$ , luego, $A_{Ed} = \frac{A_{Ob} S_{Ed}} {S_{Ob}} \,$

Esto permite calcular la altura del edificio a partir de las medidas directas tomadas.

Véanse también: Proporcionalidad y Trigonometría.

[editar]Tipos de errores

El origen de los errores de medición es muy diverso, pero pueden distinguirse los siguientes tipos. Respecto a la ocurrencia de dichos errores se tiene:

Error sistemático
Error aleatorio

Respecto a la cuantificación de los errores se tiene:

Error absoluto
Error relativo

[editar]Errores sistemáticos

Los errores sistemáticos son aquellos errores que se repiten de manera conocida² en varias realizaciones de una medida. Esta característica de este tipo de error permiten corregirlos a posteriori.³ Un ejemplo de error sistemático es el error del cero, en una báscula, que a pesar de estar en vacío, señala una masa no nula. Otro error que aparece en los sistemas GPS es el error debido a ladilatación del tiempo que, de acuerdo con la teoría de la relatividad general sufren los relojes sobre la superficie de la tierra en relación a los relojes de los satélites.

[editar]Errores aleatorios

Los errores aleatorios se producen de modo no regular, sin un patrón predefinido, variando en magnitud y sentido de forma aleatoria, son difíciles de prever, y dan lugar a la falta de calidad de la medición. Si bien no es posible corregir estos errores en los valores obtenidos, frecuentemente es posible establecer su distribución de probabilidad, que muchas veces es una distribución normal, y estimar el efecto probable del mismo, esto permite establecer el margen de error debido a errores no sistemáticos.

[editar]Error absoluto

Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.

[editar]Error relativo

Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades.

Véase también: Error de aproximación.

[editar]Cálculo del error por estadística descriptiva

Nonio de un micrómetro

Una forma de calcular el error en una medida directa, es repetir numerosas veces la medida:

$\begin{matrix} \mbox{Caso} & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \mbox{Valor} & 12,50 & 12,23 & 12,42 & 12,36 \end{matrix}$

Si obtenemos siempre el mismo valor, es porque la apreciación del instrumento no es suficiente para manifestar los errores, si al repetir la medición obtenemos diferentes valores la precisión del Instrumento permite una apreciación mayor que los errores que estamos cometiendo.

En este caso asignamos como valor de la medición la media aritmética de estas medidas y como error la desviación típica de estos valores.

$\mbox{Valor medio} = \frac{\sum_{i=1}^n (\mbox{Valor}_i)}{n}$
$\mbox{Error} = \frac{\sum_{i=1}^n \mid (\mbox{Valor}_i - \mbox{Valor medio})\mid}{n}$

[editar]Errores en las medidas indirectas

Cuando el cálculo de una medición se hace indirectamente a partir de otras que ya conocemos, que tienen su propio margen de error, tendremos que calcular junto con el valor indirecto, que suele llamarse también valor derivado, el error de éste, normalmente empleando el diferencial total. A la transmisión de errores de las magnitudes conocidas a las calculadas indirectamente se le suele llamar propagación de errores.

Partiendo de unas medidas directas y de los errores de esas medidas, y conociendo una ecuación por la que a partir de las medidas conocidas podemos calcular el valor de una medida indirecta, un método de cálculo del error de esta medida indirecta es el cálculo diferencial, equiparando los diferenciales a los errores de cada variable.

En el ejemplo de la altura del edificio, tenemos tres variables independientes la sombra del edificio, la sombra del objeto y la altura del objeto, y una variable dependiente la altura del edificio que calculamos mediante las otras tres y la ecuación que las relaciona, como ya se ha visto.

Ahora calculemos el error cometido en la altura del edificio según todo lo anterior, la ecuación que tenemos es:

$A_{Ed} = \frac{A_{Ob} \; S_{Ed}}{S_{Ob}} \,$

la derivada parcial respecto de la ecuación respecto a la sombra del edificio se calcula considerando las otras variable como constantes y tenemos:

$\frac{\partial A_{Ed}}{\partial S_{Ed}} = \frac{A_{Ob}}{S_{Ob}}$

del mismo modo derivamos respecto a la sombra del objeto:

$\frac{\partial Ae}{\partial So} = - \frac{Ao \; Se}{So^2}$

y por último respecto a la altura del objeto:

$\frac{\partial Ae}{\partial Ao} = \frac{Se}{So}$

La definición de diferencial es:

$d f(x) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i$

Que en nuestro caso será:

$d Ae = \frac{\partial Ae}{\partial Se} \; d Se + \frac{\partial Ae}{\partial So} \; d So + \frac{\partial Ae}{\partial Ao} \; d Ao$

Sustituyendo sus valores:

$d Ae = \frac{Ao}{So} \; d Se + \frac{Ao \; Se}{So^2} \; d So + \frac{Se}{So} \; d Ao$

Tener en cuenta que todas las derivadas parciales se han tomado con signo positivo, dado que desconocemos el sentido del error que se pueda cometer durante la medición.

Donde:

$d Ae \,$ : es el error que hemos cometido al calcular la altura del edificio.

$d Se \,$ : es el error de medida de la sombra del edificio.

$d Ao \,$ : es el error de medida en la altura del objeto.

$d So \,$ : es el error de medida en la sombra del objeto.

[editar]Unidades de medida

Se conocen algunos sistemas convencionales para establecer las unidades de medida: El Sistema Internacional y el Sistema Inglés. Al patrón de medir le llamamos también Unidad de medida. Debe cumplir estas condiciones:

Ser inalterable, esto es, no ha de cambiar con el tiempo ni en función de quién realice la medida.
Ser universal, es decir utilizada por todos los países.
Ha de ser fácilmente reproducible.

Reuniendo las unidades patrón que los científicos han estimado más convenientes, se han creado los denominados Sistemas de Unidades.

Sistema Internacional ( S.I.). Este nombre se adoptó en el año 1960 en la XI Conferencia General de Pesos y Medidas, celebrada en París buscando en él un sistema universal, unificado y coherente que toma como Magnitudes fundamentales: Longitud, Masa, Tiempo, Intensidad de corriente eléctrica, Temperatura termodinámica, Cantidad de sustancia, Intensidad luminosa. Toma además como magnitudes complementarias: ángulo plano y ángulo sólido.

Resolución de ecuaciones

En matemáticas, la resolución de una ecuación es el procedimiento de encontrar cuáles son los valores (números, funciones,conjuntos, etc.) que cumplen la condición indicada como una igualdad (una ecuación). Estos valores se suelen denominar raíces de la ecuación.

Generalmente, la condición comprende expresiones con variables (o incógnitas) indefinidas que deben ser sustituidas por valores de forma tal que la igualdad sea cierta.

Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si admiten las mismas soluciones.

En un caso general, sea

f(x₁,...,x_n) = c,

siendo c una constante, que tiene un conjunto de soluciones S del tipo

{(a₁,...,a_n) pertenecen a Tⁿ tales que f(a₀,...,a_n)=c}

con Tⁿ el dominio de la función. Notar que es posible que el conjunto de soluciones puede ser vacío (o sea no hay soluciones), unitario(existe exactamente una solución), finita, o infinito (existe un número infinito de soluciones).

Por ejemplo, para resolver la ecuación,

3x + 2y = 21z

primero se la modifica de forma de mantener la igualdad, por ejemplo restando en ambos lados 21z de forma tal de obtener

3x + 2y - 21z = 0

En este caso, se observa que existe un número infinito de soluciones para esta ecuación, las soluciones se pueden expresar como

{(x, y, z) tales que 3x + 2y - 21z = 0}.

una solución particular es x = 20/3, y = 11, z = 2. En efecto, este conjunto particular de soluciones describe un plano en un espacio de tres dimensiones, el cual pasa por el punto (20/3, 11, 2).

Sistema de ecuaciones lineales

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

$\left \{ \begin{array}{rcrcrcr} 3 \,x_1 & + & 2\,x_2 & + & \,x_3 & = & 1 \\ 2 \,x_1 & + & 2\,x_2 & + & 4 \,x_3 & = & -2 \\ - \,x_1 & + & \frac{1}{2} \,x_2 & - & \,x_3 & = & 0 \end{array} \right .$

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x₁, x₂ y x₃ que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente enprogramación lineaEn general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:

$\begin{matrix} a_{11}x_1 & + a_{12}x_2 & + \dots & + a_{1n}x_n & = b_1 \\ a_{21}x_1 & + a_{22}x_2 & + \dots & + a_{2n}x_n & = b_2 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1}x_1 & + a_{m2}x_2 & + \dots & + a_{mn}x_n & = b_m \end{matrix}$

Donde $x_1,\dots,x_n\,$ son las incógnitas y los números $a_{ij}\in\mathbb{K}$ son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo $\mathbb{K}\ [= \R, \mathbb{C}, \dots]$ . Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:

(1) $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}$

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

$\mathbf{Ax} = \mathbf{b}$

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.

[editar]Sistemas lineales reales

En esta sección se analizan las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales sobre el cuerpo $\R$ , es decir, los sistemas lineales en los cuales los coeficientes de las ecuaciones son números reales.

[editar]Representación gráfica

La intersección de dos planosque no son paralelos ni coincidentes es una recta.

Un sistema con $n\,$ incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.

En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta, si es lineal, o por unacurva, si no lo es. La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas y curvas que representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.

En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un único punto, las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.

Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos problemas no se enfocan desde esta óptica.

[editar]Tipos de sistemas

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:

Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:
- Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.
- Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Sistema incompatible si no tiene solución.

Quedando así la clasificación:

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque eldeterminante de la matriz es diferente de cero:

$\mathrm{Sistema \; compatible \; determinado} \Longleftrightarrow \det(\mathbf{A}) \ne 0$

[editar]Sistemas compatibles indeterminados

Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:

$\left \{ \begin{matrix} x & + 2y & = 1 \\ 2x & + 4y & = 2 \end{matrix} \right .$

Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es $-0,5\,$ y que pasa por el punto $(-1,1)\,$ , por lo que ambas intersecan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.

En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemática del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.

Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero (y por tanto uno de sus autovalores será 0):

$\mathrm{sistema \; compatible \; indeterminado} \Rightarrow \det \mathbf{A} = 0$

De hecho, de las dos condiciones anteriores se desprende, que el conjunto de soluciones de un sistema compatible indeterminado es un subespacio vectorial. Y la dimensión de ese espacio vectorial coincidirá con la multiplicidad geométrica del autovalor cero.

[editar]Sistemas incompatibles

De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:

$\left \{ \begin{matrix} x & + 2y & = 4 \\ 2x & + 4y & = 7 \end{matrix} \right .$

Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.

Matemáticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero:

$\mathrm{sistema \; incompatible} \Rightarrow \det \mathbf{A} = 0$

[editar]Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales

[editar]Sustitución

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

$\left \{ \begin{matrix} 3x & + y & = & 22 \\ 4x & - 3y & = & -1 \end{matrix} \right .$

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita $y \,$ por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

$y = 22 - 3x \,$

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita $y \,$ en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la $x \,$ .

$4x - 3(22 - 3x) = -1 \qquad \Rightarrow 4x - 66 + 9x = -1 \qquad \Rightarrow 13x -66 = -1, \qquad \Rightarrow 13x = 65 \,$

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado $x = 5 \,$ , y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos $y = 7 \,$ , con lo que el sistema queda ya resuelto.

[editar]Igualación

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita $y\,$ en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

$\left \{ \begin{matrix} y = & 22 - 3x \\ y = & \cfrac{4x + 1}{3} \end{matrix} \right .$

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

$22 - 3x = \frac{4x + 1}{3}\Rightarrow \quad\ 3(22-3x)=4x+1 \Rightarrow \quad\ 65 = 13x \Rightarrow \quad\ x = 5$

Una vez obtenido el valor de la incógnita $x\,$ , se substituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la $y\,$ .

La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y.

[editar]Reducción

Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.

Por ejemplo, en el sistema:

$\left \{ \begin{matrix} 2x & + 3y & = 5 \\ 5x & + 6y & = 4 \end{matrix} \right .$

No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por $-2 \,$ para poder cancelar la incógnita $y \,$ . Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:

$-2(2x + 3y = 5) \quad \longrightarrow \quad -4x - 6y = -10$

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita $y \,$ ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita $x \,$ :

$\begin{array}{rrcr} -4x & -6y & = & -10 \\ 5x & +6y & = & 4 \\ \hline x & & = & -6 \end{array}$

$x = -6 \,$

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita $x \,$ en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de $y \,$ es igual a:

$y = \frac{17}{3}$

[editar]Método gráfico

Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un espacio de dimensión 2.

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en los siguientes pasos:

Se despeja la incógnita (y) en ambas ecuaciones.
Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores correspondientes.
Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
En este último paso hay tres posibilidades:
1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas (x,y). "Sistema compatible determinado".
2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. «Sistema compatible indeterminado».
3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución.

[editar]Método de Gauss

El método de eliminación de Gauss o simplemente método de Gauss consiste en convertir un sistema lineal de n ecuaciones con nincognitas, en uno escalonado, en el que la primera ecuación tiene n incógnitas, la segunda ecuación tiene n - 1 incógnitas, ..., hasta la última ecuación, que tiene 1 incógnita. De esta forma, será fácil partir de la última ecuación e ir subiendo para calcular el valor de las demás incógnitas.

[Mostrar] Ejemplo de eliminación de Gauss

[editar]Eliminación de Gauss-Jordan

Una variante de este método, denominada eliminación de Gauss-Jordan, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico.

[Mostrar] Ejemplo de eliminación de Gauss-Jordan

[editar]Regla de Cramer

Artículo principal: Regla de Cramer.

La regla de Cramer da una solución para sistemas compatibles determinados en términos de determinantes y adjuntos dada por:

$x_j = \cfrac {\det(A_j)} {\det(\mathbf{A})}$

Donde A_j es la matriz resultante de remplazar la j-ésima columna de A por el vector columna b. Para un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:

$\left \{ \begin{matrix} a \, x & + & b \, y & = e \\ c \, x & + & d \, y & = f \end{matrix} \right .$

La regla de Cramer da la siguiente solución:

$x = \frac { \begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { ed - bf \over ad - bc} \; , \qquad y = \frac { \begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { af - ec \over ad - bc}$

Nota: Cuando en la determinante original det(A) el resultado es 0, el sistema indica múltiples o sin coincidencia.

[editar]Algoritmos numéricos

La eliminación de Gauss-Jordan es un algoritmo numérico usado para una gran cantidad de casos específicos, aunque posterioremente se han desarrollado algoritmos alternativos mucho más eficientes. La mayoría de estos algoritmos mejorados tienen una complejidad computacional de O(n²) (donde n es el número de ecuaciones del sistema). Algunos de los métodos más usados son:

Para los problemas de la forma Ax = b, donde A es una matriz de Toeplitz simétrica, se puede utilizar la recursión de Levinson o alguno de los métodos derivados de este. Un método derivado de la recursión de Levinson es la recursión de Schur, que es ampliamente usado en el campo del procesamiento digital de señales.
Para los problemas de la forma Ax = b, donde A es una matriz singular o casi singular, la matriz A se descompone en el producto de tres matrices en un proceso llamado descomposición en valores singulares.

Cuando consideramos ecuaciones lineales cuyas soluciones son números racionales, reales o complejos o más generalmente un cuerpo $\mathbb{K}$ , la solución puede encontrarse mediante Regla de Cramer. Para sistemas de muchas ecuaciones la regla de Cramer puede ser computacionalmente más costosa y suelen usarse otros métodos más "económicos" en número de operaciones como laeliminación de Gauss-Jordan y la descomposición de Cholesky. Existen también métodos indirectos (basados en iteraciones) como elmétodo de Gauss-Seidel.

Si el cuerpo es infinito (como es el caso de los números reales o complejos), entonces solo puede darse una de las tres siguientes situaciones:

el sistema no tiene solución (en dicho caso decimos que el sistema está sobredeterminado o que es incompatible)
el sistema tiene una única solución (el sistema es compatible determinado)
el sistema tiene un número infinito de soluciones (el sistema es compatible indeterminado).

Anteriormente has usado los símbolos “>” (mayor que), “<” (menor que), “≥” (mayor o igual que) y “≤” (menor o igual que) para describir como es la relación entre un número y otro. Por ejemplo: 4 > -1 para señalar que 4 es mayor que -1, -2 < 3 para señalar que -2 es menor que 3 y -3 < -1 para señalar que -3 es menor que -1. Estos ejemplos se conocen como desigualdades.

Podemos usar la recta numérica para visualizar estas desigualdades.

Observa que:

4 > -1, porque 4 está a la derecha de -1 en la recta numérica.

-2 < 3, porque -2 está a la izquierda de 3 en la recta numérica

-3 < -1, porque -3 está a la izquierda de -1 en la recta numérica

0 > -4, porque 4 está a la derecha de 0 en la recta numérica

Una inecuación lineal es una expresión matemática que describe cómo se relacionan entre sí dos expresiones lineales. Por ejemplo: 3 + 5x ≥ 18; -2(x + 3) < -9.

La solución de una inecuación lineal se puede representar haciendo uso de intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinito números reales.

Para resolver inecuaciones lineales hacemos uso de las siguientes propiedades:

Para todo número real a, b y c, si a < b entonces: a + c < b + c y a – c < b – c.

Para todo número real a, b y c, donde c > 0 y a < b, entonces:

3. Para todo número real a, b y c, donde c < 0, si a < b, entonces:

Ejemplos para discusión: Resuelve las siguientes inecuaciones lineales y representa la solución en la recta numérica.

1) x + 5 < 3

2) 3x + 2(x – 4) > 4x

3) 5x – 7 ≤ 2x + 8

4) 3x + 8 ≥ 5x

Inecuaciones complejas

Las inecuaciones complejas son aquellas que consisten de dos inecuaciones que están unidas por la conjunción “ó” (“or”) ó por la conjunción “y” (“and”).

Ejemplos: Resuelve para x y representa la solución en la recta numérica:

1) 3x + 2 > 14 ó 2x – 1 < -7

2) 5x – 1 ≥ - 4 y 3x – 4 < 8

3) -3x + 1 ≤ 7 ó 3x + 1 ≤ -4

4) -4 ≤ 3x – 1 ≤ 5

Práctica: Resuelve las siguientes inecuaciones lineales e inecuaciones compuestas (ejercicios 4 y 5) y representa la solución en la recta numérica.

1) 5x + 2 < 4 – x

2) 7(x – 3) ≥ 4(1 + 2x)

4) 3x – 4 < -1 ó 2x + 3 ≥ 13

5) 3x + 6 > -6 y 4x + 5 < 1

6) -4 ≤ 3x + 1 < 5

Prof. Nilsa Toro

GEMA 1200

Ejercicios adicionales: Resuelve las siguientes inecuaciones y dibuja la gráfica del conjunto solución:

1) -2z < 10	7) 3x – 4 < x + 8
2) 3a – 1 ≥ 14	8) 2p + 5 ≥ 3p - 8
3) 3(x – 2) + 5x > 22
4) 2m + 5 < 3m – 8	10) 2 ≤ 5x + 3 < 15
5) y + 4 ≤ 3y – 1	11) 10 < 3p – 4 < 18

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