lenguaje conjuntista y operaciones analíticas y graficas Expresa en lenguaje matem´atico los siguientes conjuntos:
(a) El conjunto S1
de los vectores de IR3
que tienen las dos primeras
componentes iguales.
(b) El conjunto S2
de los vectores de IR3
que tienen la tercera componente nula.
(c) S1
∩S2.
2. Sean U un espacio vectorial sobre un cuerpo IK y u, v, w ∈ U.
Expresa en lenguaje matem´atico las siguientes afirmaciones:
(a) w es combinaci´on lineal de u, v.
(b) u, v son linealmente dependientes.
(c) u, v son linealmente independientes.
(d) {u} es sistema generador de U.
(e) {u, v} es sistema generador de U.
(f) {u, v} no es sistema generador de U.
3. Sean U un espacio vectorial real y u, v ∈ U.
Expresa en lenguaje matem´atico los siguientes conjuntos:
(a) uX. (b) u, vX. (c) uX∪ vX. (d) uX∩ vX.
4. Sean U un espacio vectorial sobre un cuerpo IK y u, v, w ∈ U.
Demuestra las siguientes afirmaciones:
(a) u es combinaci´on lineal de u.
(b) u es combinaci´on lineal de u, v.
(c) Si u es combinaci´on lineal de v, entonces tambi´en lo es de v,w.
(d) 0
U es combinaci´on lineal de u, v.universidad de valladolid | facultad de cc ee y ee | matematicas ´ 2
5. Sea B = {(2,1),(1,3)}.
(a) Demuestra que B es base de IR2
.
(b) Halla las componentes de (5,5), (2,1), (1,3) y (0,0) en B.
(c) Determina qu´e vectores de IR2
tienen como componentes en B:
(5,5), (2,1), (1,3) y (0,0), respectivamente.
6. Sean B = {(1,1),(1,3)} y B
I
= {(1,4),(2,1)} bases de IR2
.
(a) Determina qu´e vector (x, y) ∈ IR2
tiene componentes (3,2) en B.
(b) Halla las componentes de (x, y) en B
I
.
7. Halla una base de cada uno de los siguientes subespacios vectoriales:
(a) {(x, y) ∈ IR2
| 2x+y = 0}.
(b) {(x, y, z) ∈ IR3
| x−y +z = 0}.
(c) {(x, y, z) ∈ IR3
| x = y, x+y +z = 0}.
8. Demuestra que A+At
+AAt
es sim´etrica para cualquier A ∈Mn×n(IK).
9. Demuestra que (ABC)
t
= C
t
Bt
At
para cualesquiera A, B, C ∈Mn×n(IK).
10. Demuestra que p
(A
−1
)
t
Q
−1
= A para cualquier A ∈Mn×n(IK) sim´etrica
e inversible.
11. Demuestra que si A ∈ Mn×n(IR) es simult´aneamente sim´etrica y antisim´etrica, entonces es la matriz nula.
12. Demuestra por inducci´on que si A ∈Mn×n(IR) es idempotente, entonces
A
m = A para cualquier m ∈ IN.
13. Dada la matriz A =


0 1
1 0

, calcula An
y justifica que A no es ni
idempotente ni nilpotente.universidad de valladolid | facultad de cc ee y ee | matematicas ´ 3
14. Sea f :Mn×n(IR) −→ IR la aplicaci´on definida por f(A) = rgA.
(a) Justifica si f es o no lineal.
(b) Halla la imagen de f.
(c) Determina si f es o no inyectiva, suprayectiva y biyectiva.
15. Dada la aplicaci´on f : IR2
−→ IR2
, definida por f(x, y)=(xy2
, x+ 2y),
determina si es o no lineal.
16. Determina si es o no lineal la aplicaci´on f : IR2
−→ IR3
definida por
f(x, y)=(x+y, x−y, x+ 1).
17. Dada A ∈ Mn×n(IR) inversible, sea f : Mn×n(IR) −→ Mn×n(IR) la
aplicaci´on definida por f(M) = AM.
(a) Demuestra que f es lineal.
(b) Determina si f es o no inyectiva, suprayectiva y biyectiva.
18. Sea f : IR3
−→ IR2
la aplicaci´on definida por f(x, y, z)=(x−y, y+z).
(a) Demuestra que f es lineal.
(b) Halla el n´ucleo y la imagen de f y una base de cada uno de estos
subespacios.
(c) Determina si f es o no inyectiva, suprayectiva y biyectiva.
19. Sea f :Mn×n(IR) −→Mn×n(IR) la aplicaci´on definida por
f(M) = M −Mt
.
(a) Demuestra que f es lineal.
(b) Halla el n´ucleo de f y determina si f es o no inyectiva, suprayectiva
y biyectiva.universidad de valladolid | facultad de cc ee y ee | matematicas ´ 4
20. Sean f : IR2
−→ IR2
el endomorfismo definido por
f(x, y) = (2x+y,3x−y)
y B = {(1,1),(3,2)} base de IR2
.
(a) Calcula f(1,2)B.
(b) Calcula f(a, b) y f(a, b)
B, sabiendo que (a, b)
B
= (1,2).
21. Determina si puede haber alg´un endomorfismo f : IR2
−→ IR2
que
satisfaga las condiciones descritas. En caso afirmativo, da alg´un ejemplo.
(a) f(1,2) = (2,4), f(0,0) = (3,1).
(b) f(1,0) = (4,3), f(0,1) = (0,0).
(c) f(1,0) = f(0,1) = (6,8).
(d) f(1,0) = (2,1), f(0,1) = (1,2), f(1,1) = (6,7).
22. Demuestra que si f, g y h son tres endomorfismos de un espacio vectorial
U, entonces se verifica f ◦ (g +h) = f ◦ g +f ◦ h.
23. Sean f : IR2
−→ IR3
, g : IR3
−→ IR2
y h : IR2
−→ IR2
las aplicaciones
lineales definidas por
f(x, y)=(x+y, x, x−y), g(x, y, z)=(x+z, y−z), h(x, y)=(y, x).
Halla la expresi´on de las aplicaciones lineales
f ◦ g, f ◦ h, g ◦ f, g ◦ h, h ◦ f, h ◦ g, h ◦ h, f ◦ h ◦ g y h ◦ g ◦ f,
en aquellos casos que tenga sentido la composici´on.
24. Sea f : IR3
−→ IR2
la aplicaci´on lineal definida por
f(x, y, z)=(x−y, y −z).
Halla la matriz asociada a f respecto de las bases can´onicas de IR3
y IR2
.universidad de valladolid | facultad de cc ee y ee | matematicas ´ 5
25. Sean f : IR2
−→ IR2
el endomorfismo definido por
f(x, y)=(x+ 2y,4x−y)
y las bases de IR2
B1
= {(1,0),(0,1)}, B2
= {(0,1),(1,0)}, B3
= {(1,3),(2,−1)}.
Obt´en las matricesM(f,Bi
,Bj
), en los 9 casos posibles (i, j ∈ {1,2,3}).
26. Sean f : IR4
−→ IR4
el endomorfismo definido por
f(x1, x2, x3, x4)=(x2
−x4, x1
+x3, x1
+x2
−x4, x3)
y las bases de IR4
C = {(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)},
B = {(2,1,0,3),(1,2,−1,0),(3,−2,1,1),(0,1,1,0}.
Obt´en las matrices M(f,C,C) y M(f,B,C).
27. Sea f : IR2
−→ IR2
el endomorfismo definido por
f(2,1) = (4,2), f(1,2) = (3,6).
(a) Determina los valores propios de f, sin calcular el polinomio caracter´ıstico de f.
(b) Halla una base de IR2
formada por vectores propios de f.
(c) Obt´en la matriz de f respecto de la base anterior.
(d) Calcula el polinomio caracter´ıstico de f.
28. Sea f : IR2
−→ IR2
el endomorfismo definido por f(x, y)=(x−y, x).
Determina si f es o no diagonalizable.universidad de valladolid | facultad de cc ee y ee | matematicas ´ 6
29. Sean U un espacio vectorial, f : U −→ U un endomorfismo y u un vector
propio de f de valor propio λ.
(a) Justifica que u es un vector propio de f ◦ f.
(b) Determina qu´e condici´on ha de cumplir λ para que f(u) sea vector
propio de f.
30. Sea f : IR3
−→ IR3
el endomorfismo definido por
f(x, y, z)=(y +z, x+y, x+z).
(a) Halla los valores propios de f.
(b) Halla una base de IR3
en la que la matriz de f sea diagonal.
(c) Determina la relaci´on existente entre la matriz an