Diferentes Tipos De Factorizacion

Diferentes Tipos De Factorizacion

1) Factorar un Monomio:

En este busca los factores en los que se puede descomponer el término

15ab = 3 * 5 a b



2) Factor Común Monomio:

En este caso busca algún factor que se repita en ambos términos

Como puedes ver la literal (a) esta en los 2 términos, por lo tanto, ese será tu factor común

a² + 2a = a (a + 2)




3) Factor Común Polinomio:

En este caso en ambos términos tu factor que se repite es
(a + b), entonces lo puedes escribir de como el factor del otro binomio

x (a + b) + m (a + b) = (x + m) ( a + b)




4) Factor Común por Agrupación de Términos:

ax + bx + ay + by =

[ax + bx] + [ay + by] = x(a + b) + y(a + b) =

(x + y)(a + b)




5) Trinomio Cuadrado Perfecto m² + 2m + 1

Se es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla:

El Cuadrado del 1er Termino + 2 Veces el 1ro por el 2do + el Cuadrado del 2do

a² + 2ab + b² = (a + b)² TCP

Factorar: m² +2m +1 Checa la regla anterior si cumple será un TCP

m² +2m +1 = (m + 1)² TCP si cumple




6) Diferencia de Cuadrados: a² - b²

De una diferencia de cuadrados obtendrás 2 binomios conjugados

a² - b² = (a - b) (a + b)

4a² - 9 = (2a - 3) (2a + 3)




7) Caso Especial de Diferencia de Cuadrados Perfectos:

Factorar (a + b)² - c²

(a + b)² - c² =

[(a + b) + c] [(a + b) - c] =

(a + b + c) (a + b – c)





8) Trinomio de la Forma; x² + bx + c

Factorar x² + 7x + 12

Hay que buscar 2 números que sumados me den 7 y multiplicados me den 12

4 + 3 = 7

4 x 3 = 12


Entonces los acomodas como factores de la ecuación cuadrática

(x + 4)(x + 3) que seria los mismo despejando a x:

x = - 4
x = - 3





9) Trinomio de la Forma; ax² + bx + c

Factorar 6x² - x - 2

Mira:

1ro) multiplica los términos de los extremos de tu trinomio (6x²) (-2) = -12x²

2do) Basándote en el coeficiente del segundo termino (-x) = -1 y en el resultado del 1er paso, vamos a buscar 2 numero que sumados me den (-1) y multiplicados me den (-12x²)

3ro) esos números son (-4x) y (3x), sumados, me dan (-1) y multiplicados me dan (-12x²)

4to) ahora acomoda dentro de un paréntesis el 1er termino de tu trinomio con el 1er factor encontrado (-4), (6x² - 4x)

5to) acomoda el 2do factor encontrado (-3x) con el 3er termino de tu trinomio (-2); (3x-2)

6to) acomoda los 2 términos nuevos (6x² - 4x) + (3x-2), encuentra algún termino común en cada uno

2x (3x - 2) + 1(3x-2), los términos comunes ponlos en otro paréntesis y elimina un termino de los 2 que tienes (3x-2),

Este será tu Factorización (2x+1)(3x-2),




10)  Suma o Diferencia de Cubos: a³ + b³

Suma de Cubos:
a³ + b³ = (a + b) (a² - 2ab + b²)

Se resuelve de la siguiente manera

El binomio de la suma de las raíces de ambos términos

El cuadrado del 1er termino, - el doble del producto de los 2 términos + el cuadrado del 2do termino

Recolección, organización de datos no agrupados y agrupados, medidas de tendencia central y dispersión

Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización. Cuando se hace referencia únicamente a la posición de estos parámetros dentro de la distribución, independientemente de que ésta esté más o menos centrada, se habla de estas medidas como medidas de posición.¹ En este caso se incluyen también los cuantiles entre estas medidas.

Entre las medidas de tendencia central tenemos:

Media aritmética

Artículo principal: Media aritmética.

La media aritmética es el valor obtenido por la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. La media aritmética es, probablemente, uno de los parámetros estadísticos más extendidos.² Se le llama también promedio o, simplemente, media.

[editar]Definición formal

Dado un conjunto numérico de datos, x₁, x₂, ..., x_n, se define su media aritmética como

Esta definición varía, aunque no sustancialmente, cuando se trata de variables continuas, esto es, también puede calcularse para variables agrupadas en intervalos.

[editar]Propiedades

Las principales propiedades de la media aritmética son:³

• Su cálculo es muy sencillo y en él intervienen todos los datos.

• Su valor es único para una serie de datos dada.

• Se usa con frecuencia para comparar poblaciones, aunque es más apropiado acompañarla de una medida de dispersión.

• Se interpreta como "punto de equilibrio" o "centro de masas" del conjunto de datos, ya que tiene la propiedad de equilibrar las desviaciones de los datos respecto de su propio valor:

• Minimiza las desviaciones cuadráticas de los datos respecto de cualquier valor prefijado, esto es, el valor de es mínimo cuando . Este resultado se conoce como Teorema de König. Esta propiedad permite interpretar uno de los parámetros de dispersión más importantes: la varianza.

• Se ve afectada por transformaciones afines (cambios de origen y escala), esto es, si

 entonces , donde  es la media aritmética de los , para i = 1, ..., n y a y b números reales.

• Es poco sensible a fluctuaciones muestrales, por lo que es un parámetro muy útil en inferencia estadística.

[editar]Inconvenientes de su uso

Este parámetro, aún teniendo múltiples propiedades que aconsejan su uso en situaciones muy diversas, tiene también algunos inconvenientes, como son:

• Para datos agrupados en intervalos (variables continuas) su valor oscila en función de la cantidad y amplitud de los intervalos que se consideren.

La estatura media como resumen de una población homogénea (abajo) o heterogénea (arriba).

• Es una medida a cuyo significado afecta sobremanera la dispersión, de modo que cuanto menos homogéneos sean los datos, menos información proporciona. Dicho de otro modo, poblaciones muy distintas en su composición pueden tener la misma media.⁴ Por ejemplo, un equipo de baloncesto con cinco jugadores de igual estatura, 1,95 m, evidentemente, tendría una estatura media de 1,95 m, valor que representa fielmente a esta población homogénea. Sin embargo, un equipo de jugadores de estaturas más heterogéneas, 2,20 m, 2,15 m, 1,95 m, 1,75 m y 1,70 m, por ejemplo, tendría también, como puede comprobarse, una estatura media de 1,95 m, valor que no representa a casi ninguno de sus componentes.

• En el cálculo de la media no todos los valores contribuyen de la misma manera. Los valores altos tienen más peso que los valores cercanos a cero. Por ejemplo, en el cálculo del salario medio de un empresa, el salario de un alto directivo que gane 1.000.000 de € tiene tanto peso como el de diez empleados "normales" que ganen 1.000 €. En otras palabras, se ve muy afectada por valores extremos.

• No se puede determinar si en una distribución de frecuencias hay intervalos de clase abiertos.

[editar]Media aritmética ponderada

A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada.

Si  son nuestros datos y  son sus "pesos" respectivos, la media ponderada se define de la siguiente forma:

[editar]Media muestral

Esencialmente, la media muestral es el mismo parámetro que el anterior, aunque el adjetivo "muestral" se aplica a aquellas situaciones en las que la media aritmética se calcula para un subconjunto de la población objeto de estudio.

La media muestral es un parámetro de extrema importancia en la inferencia estadística, siendo de gran utilidad para la estimación de la media poblacional, entre otros usos.

Expresiones algebraicas y operaciones  fundamentales.Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.

Longitud de la circunferencia: L = 2r, donde r es el radio de la circunferencia.

Área del cuadrado: S = l², donde l es el lado del cuadrado.

Volumen del cubo: V = a³, donde a es la arista del cubo.

Expresiones algebraicas comunes

El doble o duplo de un número: 2x

El triple de un número: 3x

El cuádruplo de un número: 4x

La mitad de un número: x/2.

Un tercio de un número: x/3.

Un cuarto de un número: x/4.

Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,..

Un número al cuadrado: x²

Un número al cubo: x³

Dos números consecutivos: x y x + 1.

Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2.

Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3.

Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x.

La suma de dos números es 24: x y 24 − x.

La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x.

El producto de dos números es 24: x y 24/x.

El cociente de dos números es 24; x y 24 · x.

Valor numérico de una expresión algebraica

El valor númerico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta por valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas.

L(r) = 2r

r = 5 cm.         L (5)= 2 ·  · 5 = 10 cm

S(l) = l²

l = 5 cm        A(5) = 5² = 25 cm²

V(a) = a³

a = 5 cm         V(5) = 5³ = 125 cm³

Tipos de expresiones algebraicas

Monomio

Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término.

Binomio

Un binomio es una expresión algebraica formada por dos términos.

Trinomio

Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres términos.

Polinomio

Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un término.

lenguaje conjuntista y operaciones analíticas y graficas Expresa en lenguaje matem´atico los siguientes conjuntos:
(a) El conjunto S1
de los vectores de IR3
que tienen las dos primeras
componentes iguales.
(b) El conjunto S2
de los vectores de IR3
que tienen la tercera componente nula.
(c) S1
∩S2.
2. Sean U un espacio vectorial sobre un cuerpo IK y u, v, w ∈ U.
Expresa en lenguaje matem´atico las siguientes afirmaciones:
(a) w es combinaci´on lineal de u, v.
(b) u, v son linealmente dependientes.
(c) u, v son linealmente independientes.
(d) {u} es sistema generador de U.
(e) {u, v} es sistema generador de U.
(f) {u, v} no es sistema generador de U.
3. Sean U un espacio vectorial real y u, v ∈ U.
Expresa en lenguaje matem´atico los siguientes conjuntos:
(a) uX. (b) u, vX. (c) uX∪ vX. (d) uX∩ vX.
4. Sean U un espacio vectorial sobre un cuerpo IK y u, v, w ∈ U.
Demuestra las siguientes afirmaciones:
(a) u es combinaci´on lineal de u.
(b) u es combinaci´on lineal de u, v.
(c) Si u es combinaci´on lineal de v, entonces tambi´en lo es de v,w.
(d) 0
U es combinaci´on lineal de u, v.universidad de valladolid | facultad de cc ee y ee | matematicas ´ 2
5. Sea B = {(2,1),(1,3)}.
(a) Demuestra que B es base de IR2
.
(b) Halla las componentes de (5,5), (2,1), (1,3) y (0,0) en B.
(c) Determina qu´e vectores de IR2
tienen como componentes en B:
(5,5), (2,1), (1,3) y (0,0), respectivamente.
6. Sean B = {(1,1),(1,3)} y B
I
= {(1,4),(2,1)} bases de IR2
.
(a) Determina qu´e vector (x, y) ∈ IR2
tiene componentes (3,2) en B.
(b) Halla las componentes de (x, y) en B
I
.
7. Halla una base de cada uno de los siguientes subespacios vectoriales:
(a) {(x, y) ∈ IR2
| 2x+y = 0}.
(b) {(x, y, z) ∈ IR3
| x−y +z = 0}.
(c) {(x, y, z) ∈ IR3
| x = y, x+y +z = 0}.
8. Demuestra que A+At
+AAt
es sim´etrica para cualquier A ∈Mn×n(IK).
9. Demuestra que (ABC)
t
= C
t
Bt
At
para cualesquiera A, B, C ∈Mn×n(IK).
10. Demuestra que p
(A
−1
)
t
Q
−1
= A para cualquier A ∈Mn×n(IK) sim´etrica
e inversible.
11. Demuestra que si A ∈ Mn×n(IR) es simult´aneamente sim´etrica y antisim´etrica, entonces es la matriz nula.
12. Demuestra por inducci´on que si A ∈Mn×n(IR) es idempotente, entonces
A
m = A para cualquier m ∈ IN.
13. Dada la matriz A =


0 1
1 0

, calcula An
y justifica que A no es ni
idempotente ni nilpotente.universidad de valladolid | facultad de cc ee y ee | matematicas ´ 3
14. Sea f :Mn×n(IR) −→ IR la aplicaci´on definida por f(A) = rgA.
(a) Justifica si f es o no lineal.
(b) Halla la imagen de f.
(c) Determina si f es o no inyectiva, suprayectiva y biyectiva.
15. Dada la aplicaci´on f : IR2
−→ IR2
, definida por f(x, y)=(xy2
, x+ 2y),
determina si es o no lineal.
16. Determina si es o no lineal la aplicaci´on f : IR2
−→ IR3
definida por
f(x, y)=(x+y, x−y, x+ 1).
17. Dada A ∈ Mn×n(IR) inversible, sea f : Mn×n(IR) −→ Mn×n(IR) la
aplicaci´on definida por f(M) = AM.
(a) Demuestra que f es lineal.
(b) Determina si f es o no inyectiva, suprayectiva y biyectiva.
18. Sea f : IR3
−→ IR2
la aplicaci´on definida por f(x, y, z)=(x−y, y+z).
(a) Demuestra que f es lineal.
(b) Halla el n´ucleo y la imagen de f y una base de cada uno de estos
subespacios.
(c) Determina si f es o no inyectiva, suprayectiva y biyectiva.
19. Sea f :Mn×n(IR) −→Mn×n(IR) la aplicaci´on definida por
f(M) = M −Mt
.
(a) Demuestra que f es lineal.
(b) Halla el n´ucleo de f y determina si f es o no inyectiva, suprayectiva
y biyectiva.universidad de valladolid | facultad de cc ee y ee | matematicas ´ 4
20. Sean f : IR2
−→ IR2
el endomorfismo definido por
f(x, y) = (2x+y,3x−y)
y B = {(1,1),(3,2)} base de IR2
.
(a) Calcula f(1,2)B.
(b) Calcula f(a, b) y f(a, b)
B, sabiendo que (a, b)
B
= (1,2).
21. Determina si puede haber alg´un endomorfismo f : IR2
−→ IR2
que
satisfaga las condiciones descritas. En caso afirmativo, da alg´un ejemplo.
(a) f(1,2) = (2,4), f(0,0) = (3,1).
(b) f(1,0) = (4,3), f(0,1) = (0,0).
(c) f(1,0) = f(0,1) = (6,8).
(d) f(1,0) = (2,1), f(0,1) = (1,2), f(1,1) = (6,7).
22. Demuestra que si f, g y h son tres endomorfismos de un espacio vectorial
U, entonces se verifica f ◦ (g +h) = f ◦ g +f ◦ h.
23. Sean f : IR2
−→ IR3
, g : IR3
−→ IR2
y h : IR2
−→ IR2
las aplicaciones
lineales definidas por
f(x, y)=(x+y, x, x−y), g(x, y, z)=(x+z, y−z), h(x, y)=(y, x).
Halla la expresi´on de las aplicaciones lineales
f ◦ g, f ◦ h, g ◦ f, g ◦ h, h ◦ f, h ◦ g, h ◦ h, f ◦ h ◦ g y h ◦ g ◦ f,
en aquellos casos que tenga sentido la composici´on.
24. Sea f : IR3
−→ IR2
la aplicaci´on lineal definida por
f(x, y, z)=(x−y, y −z).
Halla la matriz asociada a f respecto de las bases can´onicas de IR3
y IR2
.universidad de valladolid | facultad de cc ee y ee | matematicas ´ 5
25. Sean f : IR2
−→ IR2
el endomorfismo definido por
f(x, y)=(x+ 2y,4x−y)
y las bases de IR2
B1
= {(1,0),(0,1)}, B2
= {(0,1),(1,0)}, B3
= {(1,3),(2,−1)}.
Obt´en las matricesM(f,Bi
,Bj
), en los 9 casos posibles (i, j ∈ {1,2,3}).
26. Sean f : IR4
−→ IR4
el endomorfismo definido por
f(x1, x2, x3, x4)=(x2
−x4, x1
+x3, x1
+x2
−x4, x3)
y las bases de IR4
C = {(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)},
B = {(2,1,0,3),(1,2,−1,0),(3,−2,1,1),(0,1,1,0}.
Obt´en las matrices M(f,C,C) y M(f,B,C).
27. Sea f : IR2
−→ IR2
el endomorfismo definido por
f(2,1) = (4,2), f(1,2) = (3,6).
(a) Determina los valores propios de f, sin calcular el polinomio caracter´ıstico de f.
(b) Halla una base de IR2
formada por vectores propios de f.
(c) Obt´en la matriz de f respecto de la base anterior.
(d) Calcula el polinomio caracter´ıstico de f.
28. Sea f : IR2
−→ IR2
el endomorfismo definido por f(x, y)=(x−y, x).
Determina si f es o no diagonalizable.universidad de valladolid | facultad de cc ee y ee | matematicas ´ 6
29. Sean U un espacio vectorial, f : U −→ U un endomorfismo y u un vector
propio de f de valor propio λ.
(a) Justifica que u es un vector propio de f ◦ f.
(b) Determina qu´e condici´on ha de cumplir λ para que f(u) sea vector
propio de f.
30. Sea f : IR3
−→ IR3
el endomorfismo definido por
f(x, y, z)=(y +z, x+y, x+z).
(a) Halla los valores propios de f.
(b) Halla una base de IR3
en la que la matriz de f sea diagonal.
(c) Determina la relaci´on existente entre la matriz an

UNIDAD 1 LÓGICA MATEMÁTICA
 Proposiciones y Conectivos Lógicos
Introducción
Uno de los procesos por los cuales adquirimos conocimiento es el proceso de razonamiento, por ejemplo hay
personas que no saben sumar pero pueden hacer sus compras basándose en simples conductas lógicas que han
ido aprendiendo a lo largo de sus vidas. A su vez, hay una variedad de modos o formas mediante las cuales
razonamos o argumentamos a favor de una conclusión que puede ser cierta o no. Ciertas formas de
razonamiento parecen mostrar que si se suponen ciertas premisas, entonces la conclusión se sigue
necesariamente. A tales razonamientos se los ha denominado deductivos y forman el objetivo central de lo que
clásicamente se ha denominado lógica.
En un sentido amplio, el término lógico hace referencia al estudio de todos los razonamientos, y en un sentido
estricto ha estado circunscrito al estudio del razonamiento deductivo. Cierto tipo de razonamiento deductivo se
basa en la lógica proposicional. Lo que caracteriza a la lógica proposicional es que toma como unidades básicas a
las proposiciones y que tiene en cuenta como se combinan entre ellas por medio de conectivos lógicos para
formar argumentos válidos.
¿Qué es Matemáticas Discretas ?
“Parte de la matemática que estudia los objetos Discretos (separados o discontinuos)”. Son usadas en donde los
objetos son contados, cuando las relaciones entre conjuntos finitos son estudiados y cuando los procesos que
involucran un número finito de pasos son analizados.
La lógica
“La Lógica es el estudio del razonamiento; en particular, se analiza si un razonamiento es correcto”.
Ejemplos:
· Todos los matemáticos utilizan sandalias
· Cualquier persona que utilice sandalias es algebrista.
· Por lo tanto, todos los matemáticos son algebrista.
La Lógica se centra en las relaciones entre los enunciados y no en el contenido de un enunciado en particular.
El tipo de expresiones que interesan a la lógica son aquellas cuyo contenido puede ser evaluado como falso o
verdadero. A este tipo de expresiones se le denomina proposición, sentencia o enunciado.
Existen diversos tipos de lógica como son la lógica proposicional y la lógica de predicados
Proposición
“Una proposición se define como un enunciado, una oración declarativa, o una expresión simbólica, de la cual se
puede decir sin ambigüedad, que es verdadera o falsa, pero no ambas”.
Ejemplo:
· La Coca-Cola es una empresa transnacional………………………………………………………………… verdadero.
· Todos los alumnos del ITESCAM son menores de edad……………………………………………….. falso
· El grupo de ing. mecatrónica está iniciando el curso de matemáticas discretas…….……. verdadero
· Todos los alumnos del ITESCAM tiene coche del año…………………………………………..….….. falso
La veracidad (V) o falsedad (F) de una proposición se llama valor de verdad y viene dada por algún criterio
independiente de la proposición.

2do de media .PRIMER SEMESTRE                                                                                

Razonamiento deductivo  e  inductivo  pruebas, demostraciones y  obtención  de reglas.	Agostos septiembre
Introducción a la  geometría : generalidades,  postulados y demostraciones que relacionan ángulos.	octubre
Rectas paralelas  perpendiculares, trasversales, teoremas y demostraciones.	noviembre
Clasificación y  construcción de polígonos , teoremas.	diciembre
Conceptuación , clasificación , evaluación  y graficas de relaciones y funciones.	enero

Congruencia y semejanza de triángulos.	febrero
Razones trigonométricas y aplicaciones.	marzo
Aplicación de la ley de los senos y cosenos en el cálculo de los elementos y área de un triangulo.	abril
Identidades trigonométricas fundamentales	Mayo junio

 segundo semestre

4to de mediaPRIMER SEMESTRE                                             segundo semestre.                                   

Sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales y cuadráticas en dos y tres variables	Agosto y septiembre
Vectores, matrices y determinantes (propiedades, operaciones y aplicaciones)	octubre
Militarización y militarización de desigualdades usando programación lineal.	noviembre
Clasificación, aplicación y gráfica de la relaciones cuadráticas (circunferencia y canicas) escribiendo sus formulas según condiciones dadas.	diciembre
Utilización de los postulados sobre arcos de circunferencias, ángulo que se forman con recta secante y tangente a la misma. Su aplicación.	enero

Aplicación de teoremas en la construcción gráficas de circunferencia y recta tangente o secante de ella.	febrero
Determinación de áreas de regiones poligonales y circulares, utilizando los teoremas sobre estos y semejanza para construir demostraciones	marzo
Funciones transparente. Ecuaciones exponenciales y logareritmicas y sus aplicaciones.	abril
Construcción de sólidos geométricos y cálculos de sus áreas y volumen	Mayo y junio.

3ro de media PRIMER SEMESTRE                                             2 semestre                                

Sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales y cuadráticas en dos y tres variables	Agosto y septiembre
Vectores, matrices y determinantes (propiedades, operaciones y aplicaciones)	octubre
Militarización y militarización de desigualdades usando programación lineal.	noviembre
Clasificación, aplicación y gráfica de la relaciones cuadráticas (circunferencia y canicas) escribiendo sus formulas según condiciones dadas.	diciembre
Utilización de los postulados sobre arcos de circunferencias, ángulo que se forman con recta secante y tangente a la misma. Su aplicación.	enero

Aplicación de teoremas en la construcción gráficas de circunferencia y recta tangente o secante de ella.	febrero
Determinación de áreas de regiones poligonales y circulares, utilizando los teoremas sobre estos y semejanza para construir demostraciones	marzo
Funciones transparente. Ecuaciones exponenciales y logareritmicas y sus aplicaciones.	abril
Construcción de sólidos geométricos y cálculos de sus áreas y volumen	Mayo y junio.

1ro de media PRIMER SEMESTRE                                                                                

Introducción a la lógica simbólica…conectivo lógico, construcción de tabla y clasificación	Agosto y septiembre
Lenguaje conjuntista y operaciones analíticas y gráficas	octubre
Expresiones algebraicas y operaciones  fundamentales	noviembre
Recolección, organización de datos no agrupados y agrupados, medidas de tendencia central y dispersión	diciembre
Factorización de expresiones algebraicas.	enero

Ecuaciones e inercuaciones lineales en una variable con números reales	febrero
Conceptuación de números imaginarios, potencia y raíces.	marzo
Resolución de ecuaciones de segundo grado con una variable por Factorización completando cuadrado y con la utilización de formula general.	abril
Inecuaciones de segundo grado con una variable, forma analíticas y gráfica	mayo
Las mediciones	junio

 SEGUNDO SEMESTRE